Bạn đã từng nghe đến các khái niệm về xác suất nhưng một cách cơ bản và thiếu sự hấp dẫn? Hôm nay, chúng ta sẽ khám phá thêm về công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes trong bài viết này. Chuẩn bị để được tiếp cận với các bí mật thú vị về công thức xác suất!
TÓM TẮT
Công thức xác suất đầy đủ
🔎 Xem thêm
Đầu tiên, chúng ta cần hiểu về hệ biến cố đầy đủ. Hệ biến cố A1, A2, …, An được gọi là đầy đủ nếu chúng thỏa mãn 2 điều kiện:
- A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = Omega (khoảng không gian mẫu)
- A_i ∩ A_j = ∅ với mọi i ≠ j (i, j thuộc {1, 2, …, n})
Dựa vào các giả thiết (P(A1), P(A2), …, P(An)) và công thức xác suất đầy đủ, chúng ta có:
P(B) = Σi = 1n P(Ai) P(B|Ai) (1)
Ở đây, P(A1), P(A2), …, P(An) được gọi là các xác suất tiên nghiệm và công thức trên là công thức xác suất đầy đủ.
Ví dụ: Giả sử có 3 lô sản phẩm, với tỷ lệ phế phẩm lần lượt là 6%, 2%, 1%. Chọn ngẫu nhiên một lô, từ lô đã chọn lấy ra một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được một sản phẩm phế phẩm?
Giải:
Gọi B là biến cố lấy được một sản phẩm phế phẩm. A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố lấy ra sản phẩm từ lô thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Các biến cố A1, A2, A3 tạo thành một hệ biến cố đầy đủ.
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B|A3)
Với P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3,
P(B|A1) = 0.06, P(B|A2) = 0.02, P(B|A3) = 0.01
Tính toán, ta được:
P(B) = (1/3)(0.06 + 0.02 + 0.01) = 0.03
Với các giả thiết như phần công thức xác suất đầy đủ, chúng ta cần thêm một điều kiện là phép thử đã được thực hiện và biến cố B đã xảy ra. Khi đó, ta có:
P(Ai|B) = (P(Ai)P(B|Ai))/Σi = 1n P(Ai)P(B|Ai) (i = 1, 2, …, n)
Ví dụ: Một hộp có 5 sản phẩm, chất lượng không rõ. Lấy một sản phẩm từ hộp một cách ngẫu nhiên, nếu sản phẩm đó là tốt, lấy thêm một sản phẩm khác. Tìm xác suất để sản phẩm thứ hai lấy ra từ hộp là sản phẩm tốt?
Giải:
Gọi A0, A1, …, A5 tương ứng với các biến cố trong hộp có 0, 1, …, 5 sản phẩm tốt. Vì chúng ta không biết chất lượng của những sản phẩm trong hộp, nên ta coi xác suất của các biến cố A0, A1, …, A5 là như nhau.
Tức là: P(A0) = P(A1) = … = P(A5) = 1/6
Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm tốt khi lấy ra lần đầu từ hộp.
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P(B) = Σi = 05 P(Ai)P(B|Ai) = (1/6)(0 + 1/5 + 2/5 + 3/5 + 4/5 + 1) = 0.5
Với giả thiết B đã xảy ra, ta có thể áp dụng công thức Bayes. Khi đó:
P(A0|B) = (P(A0)P(B|A0))/P(B) = 0
Vì khi biến cố A0 xảy ra, tức trong hộp không có sản phẩm tốt, biến cố B (lấy được sản phẩm tốt) không thể xảy ra. Do đó, P(B|A0) = 0 ⇒ P(A0|B) = 0
P(A1|B) = (P(A1)P(B|A1))/P(B) = (1/6)(1/5)/0.5 = 1/15
P(A2|B) = (P(A2)P(B|A2))/P(B) = (1/6)(2/5)/0.5 = 2/15
Tính tương tự, ta có:
P(A3|B) = 3/15
P(A4|B) = 4/15
P(A5|B) = 5/15
Gọi C là biến cố lấy được sản phẩm tốt ở lần sau. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P(C) = P(A1|B)P(C|A1B) + P(A2|B)P(C|A2B) + … + P(A5|B)P(C|A5B)
= (1/15)(0) + (2/15)(1/4) + (3/15)(2/4) + (4/15)(3/4) + (5/15)(1) = 2/3
Ở ví dụ này, các xác suất tiên nghiệm là P(A0), P(A1), …, P(A5) và đều bằng 1/6. Tuy nhiên, sau khi lấy một sản phẩm từ hộp và biết thêm thông tin là lấy được một sản phẩm tốt, các xác suất tiên nghiệm này đã thay đổi theo công thức Bayes như đã tính toán ở trên. P(A0|B), P(A1|B), …, P(A5|B) chính là các xác suất hậu nghiệm.
Như vậy, bằng cách áp dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes, chúng ta có thể tính toán các xác suất theo cách thông minh và chính xác hơn.
Với những bí mật về công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes, bạn đã sẵn sàng để khám phá thêm về lĩnh vực hấp dẫn này. Đừng quên ghé thăm Viettel AIO để có thêm nhiều thông tin hữu ích và những bài viết thú vị khác nhé!
Bài viết liên quan: