Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N*: 1 + 2 + 3 +…+ n = [n(n + 1)]/2

Sự sáng tạo trong phương pháp quy nạp toán học

🔎 Xem thêm

Chim cánh cụt ăn gì? Thông tin thú vị về chim cánh cụt

Sầu riêng Ri6: Bí quyết thành công trong canh tác

Kem Dưỡng Ẩm Neutrogena Hydro Boost Aqua Gel – Da Dầu

Đẳng thức trên là một trong những bài toán được giải trong chuyên đề Toán 10 “Chân trời sáng tạo”. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về phương pháp quy nạp và cách chứng minh đẳng thức này.

Bước 1: Xét trường hợp cơ bản

Để chứng minh đẳng thức trên đúng với mọi số tự nhiên n ∈ ℕ*, ta bắt đầu với trường hợp cơ bản n = 1. Khi đó, ta có:

1 = [1(1 + 1)]/2.

Như vậy, đẳng thức đã được chứng minh đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k

Giả sử rằng đẳng thức đã được chứng minh đúng với một số tự nhiên k ≥ 1, tức là:

1 + 2 + 3 +…+ k = [k(k + 1)]/2.

Chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1

Ta cần chứng minh đẳng thức trên đúng với n = k + 1, tức là:

1 + 2 + 3 +…+ k + (k + 1) = [(k + 1)(k + 1 + 1)]/2.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1 + 2 + 3 +…+ k + (k + 1) = [k(k + 1)]/2 + (k + 1).

Simplifying the equation:

1 + 2 + 3 +…+ k + (k + 1) = [(k^2 + k + 2k + 2)]/2.

Simplifying further:

1 + 2 + 3 +…+ k + (k + 1) = [(k^2 + 3k + 2)]/2.

Đẳng thức trên tương đương với:

1 + 2 + 3 +…+ k + (k + 1) = [(k + 1)(k + 2)]/2.

Vậy, đẳng thức đã được chứng minh đúng với n = k + 1.

Kết luận

Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta đã chứng minh được đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Đây là một trong những bài toán thú vị trong chuyên đề Toán 10 “Chân trời sáng tạo”. Nếu bạn muốn khám phá thêm nhiều bài toán hấp dẫn khác, hãy truy cập vào Viettel AIO để tìm hiểu thêm.

Hãy thử áp dụng phương pháp quy nạp này cho các bài toán khác trong chuyên đề Toán 10 và khám phá thêm những điều thú vị về toán học!